Question:
pourquoi 1=0.999999 ?
2006-06-20 02:18:40 UTC
C'est une vieille question...
si x = 0.9999999999999.....
alors 10x = 9.999999999....= 9 + 0.9999999... = 9 + x
donx 9x = 9
Et donc x = 1

Ca m'a toujours énervé .... mais c'est comme ca.

Qu'en pensez-vous ?
Treize réponses:
italixy
2006-06-20 05:41:21 UTC
C'est une question de convention d'écriture. C'est ce que l'on appelle l'écriture décimale propre.

Voici la façon dont on définit l'écriture décimale propre d'un nombre réel x.

On définit une suite de décimales: u(0), u(1), u(2), etc., où u(0) est la partie entière du nombre et où x(n) est défini par une formule de récurrence:

u(n+1) est la partie entière de: 10^(n+1)*x-[10^(n+1)*u(0)+10^n*u(1)+...+10*u(n)]

Exemple: soit le nombre 19,275

u(0) est la partie entière de 19,275, donc 19

u(1) est la partie entière de 10*19,275-10*19=2,75, donc 2

u(2) est la partie entière de 100*19,275-100*19-10*2=7,5 donc 7

u(3) est la partie entière de 1000*19,275-1000*19-100*2*10*7=5 donc 5

u(n), pour n>=4, vaut 0.



On dit qu'une suite u(n) définit une écriture décimale d'un nombre x si la suite des sommes partielles du type: u(0)+10*u(1)+...+10^n*u(n) tend vers x.



On montre qu'à chaque nombre, la méthode de l'écriture décimale propre décrite ci-dessus associe une et une seule écriture décimale propre possible.

On montre aussi que tout nombre admet une seule écriture décimale possible si l'on exclut les écritures comportant une suite infinie de 9.

La suite donnée par les nombres 0; 0,9; 0,99; 0,999; etc., tend vers 1 et ce n'est que d'après la convention ci-dessus qu'on ne la retient pas comme écriture de 1.
9alomba
2006-06-20 08:14:51 UTC
c'est une histoire de précision, celle ci a été diminué en multipliant par 10 et par conséquent l'erreur ou marge d'erreur a été amplifiée
FredJust
2006-06-20 04:43:43 UTC
plus simple pour comprendre :



Deux nombres sont différents s'il existe un autre nombre entre ces deux nombres.



et entre 1 et 0.99999999... il n'existe aucun nombre ils sont donc egaux
olive
2006-06-20 02:55:05 UTC
Tu as raison, s'il y a une infinite de 9 apres la virgule.

A=0,999999999.... à l'infini.

Pour t'en convaindre, c'est simple: si 1 est différent de 0,999999999....... alors il y a une différence entre 1 et 0,9999999999.... (jusque là, on joue avec les mots..... mais ca fait partie du jeu)

bien, disons qu"on apelle cette diference "epsilon", comme ca, pour faire classe.



Bien, alors epsilon doit etre tres petit de toute facon, on est d'accord je pense...



On va maintenant regarder ce qui se passe si epsilon = 0,1. (donc la difference entre 1 et 0,999999999 serait plus grande ou egale à 0,1) et bien je te dis que ce n'est pas possible: en effet si je prends 0,99 la difference n'est que de 0,01

alors tu me dit, "ok, je prends epsilon = 0,01"

et je reponds: ok, je prends 0,999 et la difference n'est plus que de 0,001



alors tu me dit je prends epsilon = 0,001

et je te dit non, je prends 0,9999



et tu me trouve une difference encore plus petite mais pas nulle genre 0,000000000001

et je te repond 0,99999999999999999999999999

etc, etc etc.....



pour chaque epsilon (difference entre 1 et 0,999999999.....) aussi petit que tu prends mais different de 0, je peux toujours te trouver un nombre de forme 0,99999999999999999... avec assez de 9999999999 pour te prouver que la différence est encore plus petite.





En fait, le fait de dire que tu as "une infinité" de 9 apres la virgule te permet de dire que quelqueqoit la difference que tu peux imaginer entre 1 et 0,99999....., et bien on peut encore et encore la réduire à l'infini. On dit que la suite 0,9999999... tend vers 1 à l'infini, et en ayant une infinite de 9 apres la virgule, 0,99999999999....... = 1





Dans le même genre, je peux t'affirmer que 2 droites parallèles se coupent à l'infini, et aucun mathématicien ne pourra te prouver le contraire. (De même que si je dit que 2 droites parallèles ne se coupent jamais, même à l'infini....)
rom15962
2006-06-20 02:47:11 UTC
tu fais un arrondi de trop:



10x = 9.999999999... = 9 + 0.99999999... en fait c'est ;

10x = 9.999999999... = 9.00000000...1 + 0.99999999...



=> 9x = 9.0000000000...1 et 9.00000000000000...1 / 9 tend vers 1 par valeur supérieure...



G bon???
zouhair m
2006-06-20 02:34:20 UTC
non c faux ! sa reste toujours aproximatif car il y a une infinité de nombres après la virgule! et si sa t'enerve laisse tomber les maths et devient physicien ! car les physiciens s'en tapent des problèmes comme sa et mettent tout en approximatif !! si tu lui donne 8.86 ... allez on va prendre 9 !
Yeah
2006-06-20 02:29:59 UTC
Si, c'est admis en mathématique...

puisqu'on peut retrancher 1x de 10x et obtenir 9x sans avoir de décimales, c'est que la différence est infinitésimale, tend vers 0 voire n'existe pas.
fonky37540
2006-06-20 02:27:12 UTC
Erreur de calcul ->ta mis donc 9x=9



->->->->-c'est 9+x=10x et las ca marche faut pas tout melanger
2006-06-20 02:24:50 UTC
Hmmm... C'est pas tout à fait vrai. Enfin, pas de la façon dont tu as posé le truc.



C'est une histoire d'arrondis. UYa deux cas



Suppose que tu ait un nombre fini de 9 après la virgule. Dans ce cas, si tu ne fais pas d'arrondis, tu trouves x=0.9999999999999....



Maintenant, effectivement, si tu considères un nombre infini de 9 derrière la virgule, tu trouves à la fois x=1 et x=0.9999999(nb infini de 9)... Ce qui peut paraitre bizarre, mais somme toute ce n'est pas paradoxal, puisque la limite de x quand le nombre de 9 tend vers l'infini est égal à 1.
2006-06-20 02:23:56 UTC
C'est complètement faux. déja 10 est différent de 9 + 0.9999999. En effet 9+0.9999999=9.999999. Donc tout le raisonnement est faux. C'est n'importe quoi!!!
Mews Peterson L
2006-06-20 14:28:31 UTC
Parce que ça ne peut pas donné 1 c'est tout.
nivalis
2006-06-20 02:32:17 UTC
Un autre argument:

1-0,99999999999.....=0 et non pas 0,0000...00001 car cela signifierait que l'on a arrêté la suite des 9 donc que le chiffre n'est pas infini. Les deux chiffres sont donc égaux!



Il y a aussi cette autre égalité:

1/3=0,333333.... à l'infini

3X1/3=3X0,33333.... donc 1=0,999999999......



Pour comprendre l'égalité 1=0,9999999..... il faut remettre en cause sa conception de l'infini!
Sylvain B
2006-06-20 02:30:35 UTC
Cette démonstration est complètement erronée !!

Prenons le cas très concret suivant pour démontrer qu'elle est fausse :

x = 0.999

alors 10x = 9.99 = 9 + 0.99

or 0.99 est différent de 0.999 donc 9 + 0.99 n'est pas égal à 9 + x



Quel que soit le nombre de 9 après la virgule pour x le raisonnement sera toujours le même.

Cette "fausse" démonstration joue sur le fait que comme nous mettons des pointillés à la fin de la suite de 9 on croit que celle-ci est infinie. Mais ce n'est pas le cas. Et même si c'était le cas alors la suite de 9 après la virgule pour 10x serait de longeur "l'infini -1" et la démonstration ne marcherait pas non plus


ⓘ
Ce contenu a été initialement publié sur Y! Answers, un site Web de questions-réponses qui a fermé ses portes en 2021.
Loading...