Je vous donne les propriété puis la demonstration associée :

Soit f defini et derivable sur ] 0 ; + oo [ , alors on a la caracteristique suivante :
f(xy) = f(x) + f(y) si et seulement si il existe k (- |R tel que x et y > 0 et f(x) = k x ln(x)

Demonstration :

soit f(x) = k * ln(x) avec k (- |R.
Alors pour x, y > 0 on a :
f(xy) = k * ln(xy)
= k * [ ln(x) + ln(y) ]
= k * ln(x) + k * ln(y)
donc f(xy) = f(x) + f(y)

Reciproquement : On suppose f deivable sur ] 0 ; + oo[ et f(xy) = f(x) + f(y) (E)

o Montrons que f(1) = 0
On choisit x = y= 1 dans (E) qui devient
f(1²) = f(1) + f(1)
f(1) = 2 f(1)
f(1) = 0

o Derivons (E) par rapport a x, y etant fixé
y x f '(xy) = f '(x) + 0
f '(xy) = f '(x) / y

L'egalite, avec x = 1, s'ecrit :
f '(y) = f '(1) / y

donc f '(y) est de la forme K / y

1er Cas : si f '(1) = 0,
alors f '(y) = 0 sur ] 0 ; +oo [ et f(y) = K une contante or f(1) = 0
doncf(y) = 0 = 0 * ln(y)

2eme cas : si f '(y) != 0
f '(y) = k / y
donc f(y) = k * ln(y) + a ,avec a un reel

Determinons a :
f(1) = 0
k * ln(1) + a = 0
a = 0
donc f(y) = k * ln(y)


Le truc que je ne comprend pas c'est "derivons par rapport a x..." et comment on arrive a trouver la premiere ligne y * f '(xy) = f '(x) + 0
Alors si quelqu'un pouvait me donner une explication simple sa serait vraiment sympa merci !