On a : 1^1=1, 2^2=4, 3^3=27, 4^4=256, 5^5=3 125 et 6^6=7 776 (au-delà on dépasse 10 000 donc aucun intérêt)
Inutile de garder 6 car le chiffre des milliers étant au moins 7, et 7 étant déjà exclu, tu n'auras aucune solution.
Si tu ne prends aucun nombre supérieur à 3, tu ne pourras jamais obtenir un total supérieur à 4*3^3=324, donc a fortiori 1 000, et tu es obligé d'atteindre au moins 1 000 car tu as exclu 0 comme solution.
Il faut donc que tu aies au moins un 4 ou un 5 pour espérer trouver une solution.
Si tu ne prends pas de 5, tu ne peux dépasser 1 000 qu'en prenant (4,4,4,4) 4*4^4=1 024 car le nombre immédiatement inférieur pouvant être obtenu est 3*4^4+3^3=795.
En remarquant que (4,4,4,4) ne convient pas, on obtient une première conclusion: il faut chercher les solutions avec un 5 et trois autres chiffres compris entre 1 et 5.
Pour économiser les calculs à présent on va calculer tous les totaux possibles en additionnant des nombres x^x et y^y puis on calculera les sommes possibles en ajoutant les résultats d'un couple (x,y) avec les différents couples (5,z). Le total étant le même pour (x,y) et (y,x), je classerai les chiffres par ordre décroissant
Voici les totaux des sommes 2 à 2:
(1,1): 2;
(2,1): 5; (2,2): 8;
(3,1): 28; (3,2): 31; (3,3): 54;
(4,1): 257; (4,2): 260; (4,3): 283; (4,4): 512;
(5,1): 3 126; (5,2): 3 129; (5,3): 3 152; (5,4): 3 381; (5,5): 6 250
On cherche maintenant les associations possibles:
- Avec (5,5): le total est déjà de 6 250, soit plus de 6 000; inutile de continuer. Au passage, on remarque que pour les associations suivantes, on ne pourra pas avoir deux couples du type (5,x) ensemble.
- Avec (5,4): le total provisoire est donc de 3 381. Il ne faut pas dépasser les 3 555 (sous peine d'avoir au moins un chiffre égal à 6), sachant que de toute manière les 4 000 sont hors d'atteinte (3 381+512<4 000).
Il faut aussi avoir au moins 3 411. On cherche donc les associations possibles avec les sous-totaux compris entre 30 et 174. Les couples répondant à ce critère sont (3,2) et (3,3) et les totaux obtenus sont 3 412 et 3 435. Le premier couple ne donne pas de solution, le second en donne une en changeant l'ordre des chiffres (on a bien deux "3", un "4" et un "5" dans la combinaison).
- Avec (5,3): on sait déjà que (4,3) donnera une solution. Cherchons-en une autre avec un couple où le 4 n'intervient pas.
Le sous-total est de 3 152. A partir de 3 156 les nombres ne peuvent plus convenir et 3 211 est hors d'atteinte. Le seul couple pouvant être testé est donc (1,1) et cela ne fonctionne pas: donne 3 154.
- Avec (5,2): si une solution impliquant un 3 ou un 4 existait, nous l'aurions déjà trouvée. Or si on exclut les couples avec un 3, étant donné que le chiffre des milliers est forcément un 3 avec les couples testés, nous ne pouvons pas avoir de solution.
- Avec (5,1): même raisonnement.
Conclusion: le quadruplet (3,4,3,5) est l'unique solution.