Question:
Démontrer que soit p, soit p+10 soit p+20 est divisible par 3?
tuftux
2009-10-22 12:56:49 UTC
Bonsoir !
Alors je doit démontrer qu'un seul de ces nombres (p,p+10,p+20) est divisible par 3.
Si on divise p par 3 alors p=3k ou p=3k+1 ou p=3k+2 etc pour p+10 et p+20 (on passe le +10 ou +20 de l'autre côté non ?).
Mais je suis incapable d'exploiter ces petites équations pour prouver ce qu'on me demande. Je pense qu'il y a une histoire de cycle, mais je n'arrive pas à l'appliquer.

Merci de votre aide !
Neuf réponses:
Corby
2009-10-22 13:11:22 UTC
Je ne saurais pas trop l'expliquer... mais quand on additionne les chiffres qui composent un nombre N, si le résultat de l'addition est divisible par 3, le nombre N est divisible par 3.



Donc dans ton exemple... le résultat de l'addition des chiffres qui composent le nombre N serait

pour le premier p

le second p+1

et le troisième p+2



Donc si p est divisible par 3... p+1 et p+2 ne sont pas divisibles par 3

si p+1 est divisible par 3... p et p+2 ne sont pas divisibles par 3

si p+2 est divisible par 3... p et p+1 ne sont pas divisibles par 3



Par voie de conséquence pour le nombre N, seul l'un des 3 est donc divisible par 3 pour une valeur identique de p
Summer
2009-10-22 20:19:07 UTC
Si p n'est pas un multiple de 3, p = 3k+1 ou 3k+2 ou 3k+4 ou 3k+5 ou 3k+7 ou 3k+8.

Si p = 3k+1, p+20 = 3k+21 = 3(k+7)

Si p = 3k+2, p+10 = 3k+12 = 3(k+4)

et ainsi de suite.
2009-10-22 20:41:18 UTC
10=1 mod 3

20=2 mod 3

Donc p+10=p+1 mod 3 et p+20=p+2 mod 3

Or dans {p,p+1,p+2},il y a un et un seul multiple de 3 (car sur 3 entiers consécutifs,il y a un et un seul multiple de 3).

Donc dans {p,p+10,p+20},il y a un et un seul multiple de 3.
le savant fou
2009-10-22 20:30:09 UTC
La somme de trois multiples de 3 donne un multiple de 3 (et inversement, si on a démontré que la somme de 3 expressions donne un multiple de 3, cela démontre que chacune de ces expressions est multiple de 3).



Aussi, personnellement, j'aurais procédé ainsi :

Somme des expressions : p + p +10 + p +20 = 3p + 30

On voit bien que 3p, et aussi 30, sont multiples de 3.



De fait, cette somme est factorisable par 3 :

3 ( p + 10).



Si S (somme ) = 3 x (p + 10) + r nul (reste nul), alors cette somme est multiple de 3, et donc réciproquement, chacun des termes produisant cette somme est multiple de 3.



Maintenant, s'il s'agit de démontrer qu'un seul est multiple de 3, je ne vois que p, puisqu'avec P+ 10, on aura un reste avec 1 (10 = 3 x 3 = 1) et r = 2 pour P + 20.



Mais je vois les choses comme cela , passionné des maths mais sans être un expert.



Par conséquent, si je suis à côté de la plaque, pardon d'avance.



Quoi qu'il en soit, bon courage.
2009-10-23 08:16:42 UTC
 





… dans l'ensemble de congruence modulo 3, il n'y a que 3 éléments, {0, 1, 2}. En ajoutant 1 (ou 10 : c'est pareil), tu passes au suivant, et en ajoutant 2 (ou 20), tu passes à l'autre : l'ensemble est donc couvert, et il ne reste plus d'autre possibilité ‼ …







 
ppraud
2009-10-23 07:29:30 UTC
Si p est un multiple de 3 ;p est divisible par 3.

Comme 10 et 20 ne sont pas divisible par 3;p +10 et p+20 ne le sont pas.



Si p est de la forme 3k+1(avec k ;entier naturel) alors p n'est pas divisible par 3(par definition);p+10=3k+1+10=3k+11=3(k+3)+2 qui n'est pas divisible par 3 et p+20=3k+1+20=3k+21=3(k+7).Donc p+20 est divisible par 3



Si p est de la forme 3k+2(avec k ;entier naturel) alors p n'est pas divisible par 3(par definition);p+10=3k+2+10=3k+12=3(k+4) qui est divisible par 3 et p+20=3k+2+20=3k+22=3(k+7)+1 qui n'est pas divisible par 3.Donc p+10 est divisible par 3.
fouchtra48
2009-10-23 07:19:58 UTC
modulo 3

10=1 et 20=2

sauf si n=0 (c'est à dire si n est multiple de 3),soit n+1=0 soit n+2=0 C'est à dire soit n+10 soit n+20 est multiple de 3.

Mais c'est faux si n est multiple de 3 (ce que ne précise pas l'énoncé)
Tazazraw (dont do this at home)
2009-10-22 20:31:56 UTC
si p est multiple de 3 alors p est un entier et p/3 aussi

on a (p+10)/3 = p/3 + 10/3 ou p/3 est entier et 10/3 un décimal

donc (p+10)/3 est un décimal donc p+10 n'est pas un multiple de 3

on a (p+20)/3 = p/3 + 20/3 ou p/3 est entier et 20/3 un décimal

donc (p+20)/3 est un décimal donc p+20 n'est pas un multiple de 3



si p+10 est multiple de 3 p+10 est un entier

alors (p+10)/3 = p/3 + 10/3

comme 10/3 n'est pas entier p/3 non plus donc p n'est pas multiple de 3

si P=p+10 est multiple de 3 P est un entier et p+20 = P+10.

alors (P+10)/3 = P/3 +10/3

comme 10/3 n'est pas entier P non plus donc p+20 n'est pas multiple de 3



si p+20 est multiple de 3 p+20 est un entier

alors (p+20)/3 = p/3 + 20/3

comme 20/3 n'est pas entier p/3 non plus donc p n'est pas multiple de 3

si P=p+10 est multiple de 3 P est un entier et p+20 = P-10.

alors (P-10)/3 = P/3 -10/3

comme 10/3 n'est pas entier P non plus donc p+10 n'est pas multiple de 3
Ben Mansour S
2009-10-22 21:29:54 UTC
Salut!



Posons p = 3k +1



p+10 = 3k +1) 3*3 +1 = (3k +3*3) +2 = 3( k+3)+2



p+20 = (3k +1) + 3*6 +2 = 3k +3*6) +1+2 = (3k +3*6) +3





= 3( k+6++1) = 3( k+7)



Parmi ces trois nombres, seul le nombre p+20 est divisible par 3



Vérification :



k=0 donne 3( 0+7) = 3*7 = 21 vrai



k = 1 donne 3(1+7) = 3*8 = 24 vrai



k = 2 donne 3(2+7) = 3*9 = 27 vrai



k=n donne 3(n+7) comme vrai alors



k=n+1 donne 3( n+1+7) = 3n +3 +3*7 = 3n + 3+27 = 3n +30



= 3( n+10 ) vrai


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