1) si p/q=racine(2) alors en élevant au carré p²/q²=2

q est entier donc q² aussi. Par conséquent 2q² est un entier pair.



2) si p pair, alors il existe un entier k tel que p=2k

p²=4k²=2 (2k²) est forcément pair



si p impair alors il existe k tel que p=2k+1

p² = (2k+1)² =4k² +4k + 1 = 2(2k²+2k) +1

c'est un impair.



tu sais que p² est pair. Or tu viens de démontrer que si p était impair, p² l'était aussi. p ne peut donc pas être impair

--> il est pair



3) q² = p²/2 (voir 1) )

donc si p=2p' q²=(2p')²/2=4p'²/2 = 2p'²



4) q²=2p'² et p' est entier donc q² est pair



5) tout rationnel peut s'exprimer sous le forme d'une fraction irréductible p/q.



Or tu viens de démontrer que si tu exprimes racine(2) de cette manière, ta fraction n'est pas irréductible (numérateur et dénominateur divisibles par 2) --> contradiction



Conclusion : on ne peut pas exprimer racine(2) sous la forme d'une fraction, il est irrationnel

1-- √2=p/p équivaut à : 2=p²/q² ---> p²=2*q². il est evident que tout nombre entier naturels multiplié par 2 est paire alors p² est paire.

2--

a) p est paire signifie qu'il existe un entier naturel a tel que p=2a. p²=4a². posons 2a²=b. b est un entier naturel. on peut ecrire que p²=2b. on en deduit que p² est paire (multiplication par 2) si p est paire.

p est impaire --> p=2a+1. p²=4a²+4a+1. soit b=2a²+2a. b est un entier naturel paire. on peut ecrire p²=2b+1. donc p² est impaire si p est impaire.

b)puisque le carré d'un entier impaire est impaire, on deduit que tous les carrés paires ont des racines paires. ce qui nous permet de dire que p est paire.

3-- on savait que p²=2q². or p=2p' donc 4p'²=2q² d'où q²=2p'²

4-- q²=2p'² donc q² est paire. en utilisant la question 2b) on deduit que q est paire aussi.

5--

a)puisque p et q sont paires alors p/q est simplifiable. ce qui n'est pa le cas d'un nombre rationnel je crois.

b)ba voilà si p/q n'est pas rationnel alors il est irrationnel.



IL EST IMPORTANT DE VÉRIFIER LES CALCULS

1/ Si la racine de 2 est p/q, alors (p/q)²=2 et p²/q²=2 donc p²=2q²

Comme p² peut d'écrire sous la forme 2n, avec n étant un entier, alors p² est pair (revenir à la définition d'un nombre pair)



2/ a/ Si p est pair, alors il existe un n tel que p=2n et donc p²=4n²=2(2n²).

Remplacement de variable: Soit m un entier égal à 2n². Alors p²=2m et du coup p² est pair aussi.



Si p est impair, alors il existe un n tel que p=2n+1 et donc p²=4n²+4n+1=2(2n²+2n)+1. Remplacement de variable: Soit m un entier égal à 2n²+2n. Alors p²=2m+1 et du coup p² est impair aussi.



b/ Puisque p² est pair, alors p est pair (puisqu'on a vu à la question d'avant que si p est pair, alors p² est pair). Si p était impair, alors p² serait impair.



3/ On a p=2p' et p²=2q². Alors (2p')²=2q² et 4p'²=2q² et 2p'²=q².

Donc q²=2p'²



4/ Même raisonnement que 2/b/, on obtient que q est pair.



5/ Euh là je vois pas trop, mais bon faut que tu essaies de trouver une contradiction entre l'hypothèse de départ et le fait que p et q soient pairs. Une fois que c'est fait, tu viens de réussir une démonstration par l'absurde. Ca consiste à prendre l'hypothèse contraire à ce que l'on veut démontrer comme point de départ et de tomber sur une incohérence, ça signifie que l'hypothèse de départ était fausse et que donc tu viens de démontrer ce que tu voulais démontrer.



Bon courage!