Soient X1 le nombre de poissons restants après le premier repas, X2 le nombre de poissons après le deuxième repas et enfin X3 le nombre de poissons après le dernier repas.
On a:
X=3/2*X1+1
X1=3/2*X2+1
X2=3/2*X3+1
On sait que X2 est un entier ce qui force X3 à être divisible par 2. On écrit donc: X3=2n, où n>=1 est un entier quelconque.
X2=3n+1
X1=3/2*[3n+1]+1=1/2*[9n+5]
X=3/2*1/2*[9n+5]+1=1/4*[27n+19].
Le résultat doit être un entier, donc 27n doit être congru à -19 modulo 4, i.e. à 1 modulo 4.
On cherche donc n et m tels que:
27n=4m+1.
On observe qu'en ajoutant un multiple quelconque de 4 à m, on ne change pas la congruence de 27n. On peut donc se contenter de recherche m sous la forme: p+4r, où p est compris entre 1 et 4 et r quelconque.
27*1=27 congru à 3 modulo 4.
27*2=54 congru à 2 modulo 4.
27*3=81 congru à 1 modulo 4.
27*4 mutliple de 4.
Les nombres m convenant sont donc de la forme: 3+4r.
Ce qui nous donne pour X:
1/4*[27*(3+4r)+19]=25+27r.
Le plus petit nombre répondant au problème est 25.
25 poissons au départ, on partage en 3, donne trois paquets de 8, il en reste un que l'on jette.
16 poissons après le premier repas, on partage en 3, donne trois paquets de 5, un poisson jeté.
10 poissons après le second repas le dernier ami jette un poisson et en mange 3.