Il faut regarder pour chacune des valeurs de x.
On a pour tout x,
Z(k) = P(k+1)-P(k)
= (k+1)^x - (k+1) - [k^x - k]
= (k+1)^x - k^x - 1
Z(k) est-il divisible par x?
* pour x=2
Z(k) = P(k+1)-P(k)
= (k+1)^2 - k^2 - 1
= 2k (tu le calcules facilement)
C'est toujours divisible par 2! VRAI
* pour x=3
Z(k) = P(k+1)-P(k)
= (k+1)^3 - k^3 - 1
= 3k(k+1) (tu le calcules en factorisant par k+1)
C'est toujours divisible par 3! VRAI
* pour x=4
Z(k) = P(k+1)-P(k)
= (k+1)^4 - k^4 - 1
Z(1) = 14
Ce n'est pas divisible par 4! FAUX
* pour x=5
Z(k) = P(k+1)-P(k)
= (k+1)^5 - k^5 - 1
= 5k(k+1)(k^2-k+1) (tu le calcules en factorisant par k+1)
C'est toujours divisible par 5! VRAI
Bref, on peut faire assez facilement les démonstrations par simple calcul et réduction, pour chaque valeur de x, du polynôme P(k+1)-P(k).
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Maintenant, faisons la démonstration par "MATHEMATICAL INDUCTION" (au fait, en français on dit "PAR RECURRENCE") puisque c'est ce qui est demandé:
(a) supposons que quel que soit k, P(k+1)-P(k) soit divisible par x
si P(n) est divisible par x, alors P(n+1)= [P(n+1)-P(n)] + P(n) est divisible par x étant la somme de deux nombres divisibles par x.
Or, pour x>0, P(0)= 0^x - 0 = 0 est divisible par x.
Par "mathematical induction" on peut donc conclure que
quel que soit k, P(k) est divisible par x.
En résumé, pour x>0 :
quel que soit k, P(k+1)-P(k) est divisible par x
=> quel que soit k, P(k) est divisible par x.
(b) si quel que soit k, P(k) est divisible par x alors quel que soit k, P(k+1) est divisible par x également, et quel que soit k, P(k+1)-P(k) est également divisible par x, étant la somme de deux nombres divisibles par x.
En résumé:
quel que soit k, P(k) est divisible par x
=> quel que soit k, P(k+1)-P(k) est divisible par x
(c) pour la fonction P étudiée on a donc pour tout x>0 l'équivalence
quel que soit k, P(k) est divisible par x
<=> quel que soit k, P(k+1)-P(k) est divisible par x
(d) appliquons cette propriété aux différentes valeurs de x:
* pour x=2:
P(k) = k^2 - k
= k(k-1)
or quel que soit k, ou bien k ou bien k-1 est pair, donc k(k-1) est divisible par 2,
donc P(k) est divisible par x
et donc, en vertu de la propriété démontrée au (d), P(k+1)-P(k) est divisible par 2
* pour x=3:
P(k) = k^3 - k
= k(k^2-1)
= k(k+1)(k-1)
or quel que soit k>0, l'un des trois nombres consécutifs k-1, k ou k+1 est divisible par 3,
donc P(k) est divisible par 3
et donc, en vertu de la propriété démontrée au (d), P(k+1)-P(k) EST divisible par 3
* pour x=4
P(k) = k^4 - k
P(2) = 16 - 2 = 14
P(2) n'est pas divisible par k,
donc P(k) n'est pas divisible par k quel que soit k
et donc, en vertu de la propriété démontrée au (d), P(k+1)-P(k) N'EST PAS divisible par 4 quel que soit k
* pour x=5
P(k) = k^5 - k
= k(k^4-1)
= k(k^2-1)(k^2+1)
= k(k+1)(k-1) (k^2+1)
= k(k+1)(k-1) [(k-2)(k+2)+5]
= (k-1)k(k+1)(k-2)(k+2) + 5k(k+1)(k-1)
or, quel que soit k>1 chacun des deux termes de l'addition est divisible par 5, le premier pour être le multiple de 5 nombres consécutifs (dont l'un forcément est un multiple de 5) et le second pour être un multiple de 5.
donc P(k) est divisible par 5 quel que soit k>1, et aussi quel que soit k puisque P(1)=0 et P(0)=0 sont divisibles par 5
et donc, en vertu de la propriété démontrée au (d), P(k+1)-P(k) est divisible par 5