"je sais que toute famille ayant des vecteurs de coordonnes telles que x=-2y sera une base de l'ev mais je ne comprends pas le choix du nombres de vecteurs. "
Non c'est faux.
Une base est une famille de vecteurs qui est à la fois libre et génératrice de l'espace vectoriel.
Deux vecteurs u et v sont libres si et seulement si pour deux scalaires a et b on a :
a.u + b.v = 0 ⇒ a = 0 et b = 0
(attention, le 0 de gauche et le vecteur nul ; les deux 0 de droite sont l’élément neutre du corps des scalaires pour sa première loi de composition interne).
Une famille u1, u2, ..., un est libre si pour pour n scalaires a1, a2, ..., an on a :
a1.u1 + a2.u2 + ... + an.un = 0 ⇒ a1 = 0 et a2 = 0 et ... an = 0
Attention encore : Un ensemble de vecteurs peuvent être deux à deux libres entre-eux sans former une famille libre pris tous ensemble.
Un exemple de famille qui n'est pas libre avec ton ev :
u=(2;1) et v=(4,2)
u et v sont dans ton ev, mais u = 2*v ⇒ u - 2.v = 0
a = 1 ≠ 0 et b = -2 ≠ 0 et la combinaison linéaire donne le vecteur nul, donc u et v ne forment pas une famille libre de ton ev.
Cet exemple montre que ce que tu dis est faux : u et v sont dans F mais ne forment pas une famille libre, et donc { u,v } ne forme pas une base de F.
Génératrice : Une famille de vecteurs u, v, w, ... est une famille génératrice d'un ev E si et seulement si
vect(u, v, w, ...) = E
Si tu retires un vecteur à une famille libre tu obtiens toujours une nouvelle famille libre ; l'inverse n'est pas toujours vraie.
Si tu ajoutes un vecteur à une famille génératrice tu obtiens toujours une famille génératrice ; l'inverse n'est pas toujours vraie.
Une base est une famille à la fois libre et génératrice ; tu peux montrer (ça doit être fait dans ton cours) que toutes les bases d'un même e.v ont le même nombre de vecteurs :
- Si tu ajoutes un vecteur (n'importe lequel) à la base alors elle n'est plus une famille libre ;
- Si tu retire une vecteur (n'importe lequel) à la base alors elle n'est plus une famille génératrice.
Ceci montre qu'une base est alors la plus grande famille libre possible de E et aussi la plus petite famille génératrice de E.
Le nombre de vecteurs d'une base (son cardinal) est par définition la dimension de E.
Ca implique aussi ceci pour un ev de dimension N :
- Une famille de vecteurs qui contient plus de N vecteurs ne peut pas être une famille libre ;
- Une famille de vecteurs qui contient moins de N vecteurs ne peut pas être une famille génératrice de E ;
Tu obtiens donc des définitions équivalentes de la dimension d'un ev :
- C'est le plus grand nombre de vecteurs d'une famille libre de l'e.v ;
- C'est le plus petit nombre de vecteur d'une famille génératrice de l'e.v.
Comme la base est une famille génératrice, alors n'importe quel vecteur de E peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base (les coordonnées dans la base). Cette combinaison linéaire existe toujours car la base est une famille génératrice.
Et comme la base est une famille libre alors tu peux montrer que cette combinaison linéaire est unique ; il ne peut pas en exister une deuxième (sinon ça impliquerait que la famille n'est pas libre ; ça fait un bon exo didactique).
C'est l'intérêt d'une base : Pour un vecteur de E il existe TOUJOURS une combinaison linéaire UNIQUE des vecteurs de la base qui donne ce vecteur de E.
Il y a plusieurs manières de montrer qu'une famille est une base d'un ev. Par exemple :
- Tu peux montrer directement qu'elle est libre et génératrice ;
- Ou tu peux montrer que c'est une famille libre à laquelle tu ne peux ajouter aucun autre vecteur linéairement indépendant (i.e. dès que tu ajoutes un vecteur à la famille alors elle n'est plus libre) ;
- etc.
Maintenant que tout ça est précisé, dans ton cas :
F= { (x;y) |R² | -x+2y=0 }
D'abord pour faire les choses comme il faut il faut montrer que F est un sous-espace vectoriel de |R² sur |R (parce que ce n'est pas toujours le cas !).
J'imagine que c'est fait et ok (sinon ça n'aurait aucun sens de parler de base et de dimension...).
F= { (x;y) |R² | -x+2y=0 }
⇔
F= { (x;y) |R² | 2y=x }
⇔
F= { (x;y) |R² | (x;y) = (2y,y) }
⇔
F= { (x;y) |R² | (x;y) = y.(2;1) }
On vient donc de trouver un vecteur u = (2;1) tel que quelque soit (x;y) dans F alors il existe un réel k tel que (x;y) = k.u (et il se trouve que k = y).
u est donc une famille (d'un seul vecteur) génératrice de F.
Est-ce que u forme aussi un famille libre de F ? Oui car u est différent du vecteur nul.
En effet, pour k réel :
k.u = (0 ; 0) ⇒ k.(2;1) = (0 ; 0) ⇒ (2k;k) = (0 ; 0) ⇒ 2k=0 et k=0 ⇒ k = 0
(en fait, une famille d'un seul vecteur non nul est toujours libre... C'est trivial mais ça ne fait pas de mal de le montrer pour apprendre).
Donc u est une famille à la fois libre et génératrice, c'est donc une base de F et F est de dimension 1.
Tu aurais pu prendre un vecteur u = (1;1/2) ou u=(4;2), etc. La base n'est pas unique mais une base contient toujours le même nombre de vecteur.
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Ah, et l'espace vectoriel F est un sous-espace vectoriel de |R² (l'ensemble des couples de réels).
Si |R² est bien de dimension 2, F est de dimension 1 : C'est une droite qui contient le vecteur nul de |R² (i.e. (0 ; 0) ). Cette droite F est inclue dans le plan |R².