Le principal défaut de quelques profs de maths est de balancer des équations sans même les expliquer en détail. Cette mésaventure en tant qu'élève m'est arrivée au lycée. La source de confusion la plus fréquente en maths (et dans les sciences) ce sont les lacunes dans les définitions. Par exemple, ce n'est que relativement tardivement que j'ai compris l'enjeu de la nécessité des critères épistémologiques (dont celui de la réfutabilité) qui sont le fondement de la démarche scientifique. Cette mésaventure m'a également concerné dans les dérivées en maths. On savait tous calculer les dérivées mais on ignorait à quoi ça servait. Après, il ne faut pas s'étonner que les jeunes ne s'intéressent pas aux sciences. Des maths trop abstraites et absconses, mal présentées, prennent une apparence proche (à tort) du mysticisme numérologiste, et ça peut conduire à un abandon injuste par les élèves. Mais les maths valent la peine d'être apprises car c'est un domaine passionnant quand il est bien compris.



La dérivée d'une fonction, comme le dit monsieur "%", décrit la pente positive ou négative d'une fonction.



Je vais prendre l'exemple de la parabole du mouvement de chute libre avec une vitesse initiale qui s'oppose à la gravitation. L'axe des abscisses sera l'axe du temps t, l'axe des ordonnées sera la hauteur z en fonction de t. La fonction d'un corps qui s'oppose à la pesanteur avec une vitesse v depuis z(0) = 0 avec une vitesse initiale donnée sera la suivante : z(t) = v*t - (1/2) g*t²



Avec t le temps, g = accélération de la pesanteur terrestre, v la vitesse initiale.



On le voit, c'est une fonction parabolique qui décrit une courbe. En examinant la fonction, la parabole atteint une altitude maximum h au bout d'un temps tx.



La dérivée de la fonction est dz/dt = v - g*t

Les lycéens peuvent la calculer facilement, mais souvent il peut arriver qu'ils ne savent pas à quoi ça sert.



La dérivée est nulle dz/dt = 0 lorsque la fonction z(t) a une pente nulle (endroit du point où la tangente est parralèle à l'axe t), Ce point correspond à l'altitude maximale dans notre cas concret.



Comment calculer h = z(tx) grâce à notre dérivée ? La notation x indique un indice pour un t qui désigne le temps auquel l'altitude z est maximale.



Puisque dz/dt = v - g*tx = 0



Alors v = g*tx et donc tx = v/g



Puisque h = z(tx) = v*tx - (1/2) g*tx²

alors h = v*(v/g) - (1/2) g * v²/g²



h = v²/g - (1/2) v²/g



h = v²/g (1 - 1/2) = (1/2) v²/g



On a ainsi pu calculer l'altitude maximale atteinte par un projectile tiré verticalement, en fonction de sa vitesse et de g, en éliminant t. Et ceci grâce au calcul de la dérivée.



Une petite précision : la dérivée est positive lorsque le projectile n'a pas encore atteint son altitude maximale, puis négative après cette étape.

c'est la pente, positive ou négative, plus ou moins forte, de la fonction initiale.

C'est la pente de la tangente en tout point de coordonnées (x,f(x)). Concrètement, quand tu as une courbe, tu trace la tangente, et l'inclinaison de celle-ci par rapport à l'exe des abscisses te donne la valeur de la dérivée.

Je suppose que tu voudrais savoir à quoi ça sert.

Sache que c'est utilisé en physique (vitesse, accélération ... par exemple l'accélération est la dérivée de la vitesse.), en chimie (vitesse d'évolution)...

Soit une fonction f de courbe Cf.

Pour tout x,la tangente à Cf en M(x,f(x)) a pour coefficient directeur (ou pente) le nombre dérivé noté f'(x) de f en x.

En fait si tu connais f',tu connais la forme de la courbe Cf.

Si deux fonctions f et g ont même dérivée,alors Cf et Cg sont des courbes parallèles,c'est-à-dire que pour tout x,g(x)-f(x)=constante.

La dérivation lie une courbe à ses tangentes.

Elle permet de passer d'une dimension à la dimension inférieure,à l'opposé de l'intégration.



Donc la dérivée t'indique comment la courbe s'oriente en chaque point.Comme si elle te disait à chaque instant quelle direction prendre presque instantanément.

Concrètement c'est une fonction qui donne pour x = A le coef "a" de la tangente à la fonction d'origine pour x = A d'équation y = a * x +b.



Si une fonction f décroit sur un intervalle, les tangentes à cette fonctions sur cet intervalle sont décroissante, et donc sa dérivée est négative, et réciproquement.



Si on connait le signe de la dérivée d'une fonction on connait de fait les variations de cette fonction.



pas exemple la dérivée de d'une fonction f(x) = x² est f'(x) = 2x



La fonction x² est décroissante sur ]-l'infini ; 0[ et croissante sur ]0 ; +l'infini[

Sa dérivée 2x est négative sur ]-l'infini ; 0[ et positive sur ]0 ; +l'infini[



Vous voyez ?

C'et la limite du rapport entre l’accroissement d’une fonction continue (résultant de l’accroissement de la variable) et l’accroissement de la variable, lorsque ce dernier tend vers zéro.

Le principe des dérivées est le même que les boîtes gigogne en forme de poupée russe. Les dérivées te permettent de zoomer vers l'infiniment petit.

La dérivée 1ère : tu ouvre une poupée et tu sors la boîte suivante.

La dérivée seconde, tu ouvre la 2è poupée et tu sors la 3e poupée, etc. Il y a des fonctions dérivables à l'infini, d'autres non.

L'intégrale c'est le contraire, tu intègres les petites poupées russes dans les grandes. C'est plus dur car il faut rechercher tous les morceaux.

Pas la peine d'apprendre des tas de formules par coeur. Tu te base sur la seule formule au départ qui est : si y = ax^n, la dérivée c'est y' = anx^n-1. En ce qui concerne les divisions et les racines, te casse pas à apprendre les autres formules par coeur : il suffit de remplacer n par un signe négatif pour les divisions, et par un quotient pour les racines ou les 2 à la fois si la dérivée contient à la fois des divisions et des racines. Le reste, c'est tout simplement les règles de puissances du style 1/x^3 = x^-3 et racine de x^3 = x^(3/2) vues en 3è. Tu peux même remplacer a et/ou n par 0 ou 1, la formule sera toujours valable.

Autre formule u'v + uv'. Te casse pas à apprendre machin /v^2 tu pour les fractions, là pareil tu remplace par une puissance négative (je n'avais jamais compris pourquoi ce n'était pas u'v - uv') tout simplement.

et une 3è formule : les fonctions de fonctions : la aussi comme les poupées gigognes. Attention à ne pas mélanger les niveaux : on n'ouvre qu'une boîte à la fois 3cos^2x par exemple ça donne 6 cosx * -sinx et non pas - 6 sinx

En fait il n'y a vraiment que 3 formules à apprendre vraiment par coeur quoi que la 1ère se démontre.

Quant aux dérivées de fonctions inverses, la dérivée de fonctions inverses, c'est l'inverse des dérivées des fonctions. Par exemple tu inverse les fonctions : au lieu de faire y en fonction de x, tu fais x en fonction de y (x = tangeante y), tu dérives, tu inverse : tu trouve qq chose comme y = 1/(1 + tangeante ^2 de y), il faut faire apparaître un x donc tu remplaces tangeante ^2 de y par x^2. Voilà 3 formules à apprendre et le reste se fait tout seul :

si y = ax^n, la dérivée c'est y' = anx^n-1.

y = uv : y' = u'v + uv'

et les fonctions de fonctions gigognes.