Qui peut m'expliquer simplement la fonction logarithme népérien?

Chris568

2010-08-13 15:27:23 UTC

Un peu de lecture pour toi : http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_naturel

Ce que ne dit pas l'article mais ça découle de ln(ab)=lna+lnb :

ln(1/a)=-lna

ln(a/b)=ln(a)-ln(b)

Corollaire : ln(a^n)=n*ln(a)

Les démonstrations de ces propriétés sont triviales. Si tu connais assez la fonction exponentielle, tu peux essayer de démontrer ces propriétés (par ailleurs, on peut aussi se servir de ln(ab)=lna+lnb).

Edit : Au temps pour moi, c'est dit dans l'article mais peu importe, c'est dit ici, c'est dit.

anonymous

2010-08-13 22:23:42 UTC

Le logarithme naturel ou logarithme népérien, est, en mathématiques, le logarithme de base e. C'est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C'est la primitive de la fonction inverse définie sur et qui s'annule en 1.

Le logarithme naturel de x est la puissance à laquelle il faut élever e pour trouver x.

?

2010-08-14 09:00:17 UTC

Il y a plusieurs façons de définir le logarithme népérien. La plus logique me semble cette-ci :

"Le logarithme népérien est la primitive (sur les réels strictement positifs) de la fonction 1/x, qui est nulle en 1."

Puisque 1/x est une fonction continue (sur les positifs), elle admet des primitives, c'est-à-dire des fonctions dont la dérivée est 1/x. Ces fonctions ne différent que par une constante. Il n'y en a qu'une qui vaut 0 quand x vaut 1. C'est cette unique fonction qu'on appelle logarithme népérien.

On montre ensuite que cette fonction n'est autre que la réciproque d'une exponentielle, dont la base est le fameux nombre e. Autrement dit

ln x = y <=> e^y = x (le ^ signifie "exposant")

Règles importantes :

ln 1 = 0

ln (x.y) = ln x + ln y

ln (x/y) = ln x - ln y

ln (a^b) = b ln a

Antoine

2010-08-15 19:50:22 UTC

Bonjour,

si tu connais l'exp, il n'y a rien (ou presque) de nouveau : la courbe de ln est le symétrique par rapport à la première bissectrice (y=x) de la courbe de exp.

On en déduit l'intervalle de définition et de dérivabilité, les limites à l'infini, quelques valeur de dérivée, quelques points particuliers....

Conclusion : connaitre Exp sur le bout des doigt puis regarder le dessin des courbes.

PS : je donne des cours particuliers, Gratuitement, via internet. M'écrire pour info ;-)

Athanatophobos

2010-08-14 17:01:49 UTC

C'est la primitive de la fonction 1/x, s'annulant pour x=1.

ppraud

2010-08-14 12:25:53 UTC

On part la fonction inverse 1/x, et on cherche a lui définir une fonction telle que la fonction inverse serait sa derivé sur l'intervalle ]0;+inf[.Des fonctions comme ca,il y en a une infinite(qui sont toutes a une constante pres) ,donc une condition sur sa valeur est fixé et cette condtion c'est quelle la valeur 0 en 1.C'est cette fonction qui est la fonction logarithme néperien.Elle est notée Ln.

Par definition,elle vérifie Ln(1)=0 et (Ln(x))'=1/x.Comme la fonction inverse est positive sur ]0,inf[ ,la fonction logaritme neperien est strictement croissante sur ]0;+inf[ .Donc sur]0;1[ln(x)<0 et sur]1;+inf[;ln(x)>0.Sa limite en 0 est -infini et sa limite en +infini est +infini.

Sa principale propriété c'est quelle transforme les produit en somme c'est a dire que pour tout réel x,y dans l'intervalle]0,inf[;ln(x*y)=ln(x)+ln(y).On a par consequent ln(1/y)=-ln(y),ln(x/y)=ln(x)-ln(y),ln(a^p)=p*ln(a)(p entier).

Le réel qui verifie ln(x)=1 est noté e est vaut environ 2.718.Ce nombre e est remarquable car c'est a partir de la qu'on definit la fonction exponentiel.Mais c'est une autre question.

anonymous

2010-08-14 00:07:12 UTC

Notée ln,la fonction logarithme népérien (de l'Anglais John Napier,ou Neper),est définie comme étant la primitive sur ]0,+oo[ de [x->1/x] s'annulant en 1.

Elle est bijective de ]0,+oo[ sur IR.

On appelle "constante de Neper",notée e,l'antécédent de 1.

La fonction ln a une propriété intéressante:

Pour tous x,y>0,ln(xy)=ln(x)+ln(y).

ln(x/y)=ln(x)-ln(y).

Il en découle pour tout x>0,et r dans IR,ln(x^r)=rln(x).

Ainsi pour tout réel x,ln(e^x)=xln(e)=x (car ln(e)=1).

Ce qui permet de définir la réciproque (notée exp) de ln.

exp (fonction exponentielle) est définie de IR sur ]0,+oo[ et vérifie exp(x+y)=exp(x)exp(y)

Et même exp(x)=e^x.

Propriétés de limites:

lim ln(x)/x=0 en +oo et -oo en 0.

Dérivation:

ln'(x)=1/x (par définition de ln)

ln o f a pour dérivée f'/f.

exp'(x)=exp(x) (exp est sa propre dérivée).

exp o f a pour dérivée f'*exp o f.

Primitives:

ln a pour primitives xln(x)-x+cste1.

exp a pour primitives exp(x)+cste2.

Logarithmes de base a:

ln a pour base a=e car ln(e)=1

Si on note la(x)=ln(x)/ln(a),alors la(a)=1

la(xy)=la(x)+la(y)

Les fonctions la ont les mêmes propriétés que ln.

Si a=10,on parle de logarithmes décimaux et on les note log.On s'en sert en chimie par exemple pour définir le pH d'une solution aqueuse.

pH= -log [H3O+].

log(10^x)=x

Ainsi log(100)=2,log(1000)=3,etc.

Exponentielle de base a:

Exp a pour base e:exp(x)=e^x

expa a pour base a:expa(x)=a^x

Mêmes propriétés que exp.

Comparaisons et ordres de grandeur:

En +oo,les fonctions logarithmes (lnx/lna) sont négligeables devant les fonctions puissances (x^a),qui elles-mêmes sont négligeables devant les fonctions exponentielles (a^x).

Tourmaline

2010-08-13 22:54:44 UTC

Si p est un entier relatif, q un entier strictement positif, vous savez calculer la puissance p d'un nombre réel positif quelconque a, de même que la racine q ième d'un nombre quelconque.

Par conséquent, pour tout nombre rationnel p/q, vous pouvez calculer a^(p/q), ce qui est suffisant pour tracer la courbe représentative de la fonction a^x avec x є |R (si x est irrationnel, il peut être encadré par 2 rationnels dont la différence peut être rendue aussi petite que souhaitée, donc de même pour a^x).

Il est donc possible de déterminer la pente de la tangente (le nombre dérivé) à cette courbe pour x = 0. Le nombre dérivé de a^x pour x = 0 est le logarithme népérien de a, ln(a).

Ce procédé permet de déterminer ln(a) pour toute valeur de a, et définit donc la fonction f(x) = ln(x).

Le nombre tel que ln(x) = 1 est désigné par e et appelé base des logarithmes népériens. Ce nombre est irrationnel et sa valeur approchée est 2,71828. La fonction f(x) = e^x est appelée "fonction exponentielle".

Propriétés :

u(x) = a^x

v(x) = b^x

u.v = a^x.b^x = (ab)^x

La dérivée de uv est uv' +u'v, donc :

(uv)'(0) = u(0).v'(0) +u'(0).v'(0)

Or :

u(0) = a^0 = 1

v(0) = b^0 = 1

u'(0) = ln(a)

v'(0) = ln(b)

(uv)'(0) = ln(ab)

Il en résulte :

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

pour b = 1

ln(a) = ln(a) + ln(1), donc ln(1) = 0

pour b = 1/a

ln(a.(1/a)) = ln(a) + ln(1/a)

ln(a) + ln(1/a) = ln(1) = 0

ln(1/a) = -ln(a)

pour b = a

ln(a.a) = ln(a) + ln(a) = 2ln(a)

ln(a²) = 2ln(a)

et donc ln(a^p) = p.ln(a) et

ln(a) = q.ln(a^(1/q)) (puisque a = [a^(1/q)]^q)

il en résulte ln(a^(p/q)) = (p/q).ln(a), relation étendue à tout nombre réel t :

ln(a^t) = t.ln(a)

si a = e, alors :

ln(e^t) = t.ln(e) = t

La fonction ln(x) est donc la fonction réciproque de la fonction exponentielle.