Question:
fonctions paires impaires...?
yop
2007-02-19 03:23:39 UTC
Mon cour me dit qu'une fonction est paire si: f(-x) = f(x)
et est impaire si: f(-x) = -f(x)
Mai concrètement comment passer de ma fonction de dépare a une de c deux?
j'aimerai un petit exemple pour voir la trame a suivre avec des explications
Huit réponses:
boobo
2007-02-19 03:35:20 UTC
pas de panique prenons le cas d'une fonction f(x) = 3x

pour savoir si cette fonction est paire ou impaire, il suffit de calculer f(-x)

f(-x)= -3x= -f(x) f(x) est impaire

un autre exemple f(x)= x²

f(-x)= x² ta fonction est paire
Yom
2007-02-19 12:04:58 UTC
En fait, toute fonction (définie sur un domaine symétrique) peut s'écrire sous la forme de l'addition d'une fonction paire et d'une fonction impaire :

f(x)= p(x) + i(x)

où

p(x)= ( f(x) + f(-x) ) / 2

i(x)= ( f(x) - f(-x) ) / 2



On voit que p est paire et i impaire .

Le graphe d'une fonction paire est symétrique suivant l'axe des ordonnées (Oy).

Le graphe d'une fonction impaire est symétrique de centre l'origine (O).

Une fonction ne peut être ni paire, ni impaire.



Concretement pour vérifier la parité d'une fonction, on calcule f(-x) :

Ex avec f : x -> exp ( x² )

f(-x) = exp ( (-x)² ) = exp ( x² ) = f(x)

Cette fonction est paire.
eliotness
2007-02-20 13:34:56 UTC
Tu calcules f(-x).

Et tu dois obtenir ta fonction de départ.
marmotte_43
2007-02-19 15:46:22 UTC
Pas grand chose à ajouter sur ce qu' on dit les autres.... en effet il te suffit de calculer f(-x)

-si c' est égale à f(x) elle est paire

-si elle est égale à -f(x) elle est impaire

- si different de f(x) et -f(x) alors elle n' est ni pair, ni impaire....



La plupart des fonctions appartiennent à la troisieme catégorie. Mais alors tu dois te demander a quoi peut bien servir la parité ? Et bien simplement a restreindre l' intervalle sur lequel tu dois faire ton étude de fonction ( d' ou moins de travail)



Puisqu' ensuite selon la parité ou l' imparité de ta fonction , tu peux compléter la courbe représentative par symetrie par rapport a l 'axe (Ox) dans le cas pair ou par symetrie par rapport a O origine du repere dans le cas impaire.



Autre précision en fait parité et imparité sont des cas particulités des cas suivants:

-i- Pour demontrer que la droite x=a est axe de symetrie de la courbe representative de f , on montre que :

si x+a ЄDf alors x-a ЄDf et f(a+x)= f(a-x)

-ii- Pour montrer que I(a,b) est centre de symetrie de la courbe representative de f, on montre que :

si a+x ЄDf alors a-x ЄDf et [f(a+x)+f(a-x)]/2 =b



Si a=0 dans -i- on retrouve la definition de parité

Si I(a,b) est le point O(0,0) on retrouve la definition d' imparité





Derniere precision , dans le but de restreindre encore plus l' intervalle d' étude (donc moins de travail) ,on peut aussi étudier la periodicité d' une fonction. Mais la aussi la plupart des fonctions ne sont pas periodiques
Valerie G
2007-02-19 13:12:45 UTC
Tu prends la définition de ta fonction de départ et tu calcules f(-x). Et tu regardes si c'est pareil que f(x), ou si c'est l'opposé.



Par exemple si ta fonction est f(x)=sin(x)+x

f(-x) = sin(-x) + (-x)

= -sin(x) - x

= - (sin(x)+x)

= -f(x)

donc il s'agit d'une fonction impaire.



Attention, la plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires. On ne transforme pas une fonction "comme cela" en fonction paire ou impaire, ce qu'on te demande, c'est de vérifier si dans les cas particuliers donnés, la fonction a l'ume de ces propriétés.
Miyu
2007-02-19 11:39:18 UTC
en fait il y a trois possibilités :



- soit ta fonction est paire

par exemple f(x) = x^2.

Car : f(-x) = (-x)^2 = x^2 =f(x)



- soit ta fonction est impaire

par exemple f(x) = x^3

car : f(-x) = (-x)^3 = (-x) . (-x)^2 = -x.x^2 = -x^3 = - f(x)



- soit elle n'est ni l'une ni l'autre.



Pour savoir si elle est paire ou impaire, calcule f(-x) et regarde si cela donne quelque chose.

Cela n'est pas forcé comme dit plus haut

La parité d'une fonction est un cas particulier qui ne concerne pas la majorité des fonctions, loin de la.
zez
2007-02-19 11:38:11 UTC
Toute fonction symétrique par rapport à Oy peut être écrite sous la forme d'une fonction impaire ou paire en faisant un changement de repère.



Exemple : f(x)=(x-2)²+1 dans le repère Oxy. Cette fonction s'écrit f(X)=X² dans le nouveau repère AXY , le point A ayant comme coordonnées (2,1) dans l'ancien repère.
De H
2007-02-19 11:32:36 UTC
si ta fonction n'est ni paire ni impaire au depart.. y a peu de chance qu'elle le devienne.



exemple de fonction paire : x^2 (x au carré)

exemple de fonction impaire : x^3 (x au cube)


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