Question:
Comment montrer que a et b sont de parité différente si a²+b² est impair?
Kevin P
2008-11-08 05:08:36 UTC
Bonjour .

Je suis en terminal scientifique, spécialité maths, et j'ai un devoir maison à rendre bientôt.

Je bloque sur un exercice, et j'apprécierais beaucoup votre aide :) :

Montrer que, si a et b sont des entiers tels que a² + b² est impair, alors a et b sont de parité différente.

J'ai beaucoup cherché, je sais que ça tourne, aux "alentours" de la division euclidienne, et des chiffres paires et impaires ( si a est paire alors a=2n, donc a² = 4n² , donc a = 2q, donc a est pair .. ) mais voilà je débouche sur rien.

Je vous remercie de votre aide .
Cinq réponses:
2008-11-08 05:24:32 UTC
I) T'as qu'à faire tous les tests :



1) a = 2n et b = 2m

2) a = 2n+1 et b = 2m

3) a = 2n+1 et b = 2m+1



II) Ou alors :



Etudier la "parité" pour la fonction x-->x² et la fonction "+".



f : a --> a² :



a pair --> a² pair

a impair --> a² impair



Ensuite g : "+" : (x,y) --> x+y

x pair, y pair --> x+y pair

x pair, y impair --> x+y impair

x impair, y impair --> x+y pair



EDIT : comme le dit le qriste en dessous, il faut montrer toutes ces affirmations avec mon I) (2n, 2m, 2n+1, etc...)



il ne reste plus qu'à étudier la fonction composée g°F avec F(a,b) = (f(a),f(b))
Tourmaline
2008-11-08 05:25:14 UTC
Cela se montre en deux étapes :



1) Montrer que le carré d'un nombre a est de même parité que a



2) Montrer que la somme de deux nombres de même parité est toujours un nombre pair.



Je ne crois pas que tu ais beaucoup cherché, car ce genre du problème est à peu près du niveau 1+1=2.
paisible
2008-11-08 12:43:33 UTC
Examiner les 3 cas sèchement est super inélégant et je te propose ceci : poser a=2m+I (i=0, 1) et b=2n+j (j=0,1), a^2+b^2=4m^2+4mi+4n^2+4nj+i^2+j^2 : la parité de a^2+b^2 est celle de i^2+j^2= i+j. L'examen des 3 cas est alors trivial : 0+0 et 1+1 sont pairs, et 1+0=0+1 est impair
hargho
2008-11-08 06:03:38 UTC
Maintenant que tu es chaud et que tu as bien compris, montre que √2 est irrationnel :) . C'est un des exemples célèbres de raisonnement sur les entiers pairs et impairs. Par l'absurde.
2008-11-08 05:42:56 UTC
salut , c est ma 1ere réponse , j espère qu'elle va te servir , bon .



on a : (a+b)²=a²+b²+2ab donc a+b et impaire par ce que a+b et la somme d un nombre paire et d un autre impaire . si a et b avait la meme parité a+b seras donc paire et c est pas le cas donc a et b sont de parité différente .

ucf;)


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