Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π (Π en majuscule) est le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Il est appelé aussi la constante d'Archimède.
Pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas le rapport de deux nombres entiers naturels. L'irrationalité de π a été démontrée en 1761 par Johann Heinrich Lambert. En fait, ce nombre est transcendant, ce qui a été prouvé par Ferdinand Lindemann en 1882. Ceci signifie qu'il n'existe pas de polynôme à coefficients entiers ou rationnels dont π soit une racine. Il en résulte qu'il est impossible d'exprimer π avec un nombre fini d'entiers, de fractions rationnelles et de leurs racines.
La transcendance de π établit l'impossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : il est impossible de construire, à l'aide de la règle et du compas seulement, un carré dont la surface est rigoureusement égale à la surface d'un cercle donné. La raison en est que les coordonnées de tous les points constructibles à la règle et au compas sont des nombres algébriques particuliers.
Formules incluant π
Les formules intéressantes incluant π sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences. Géométrie
Pi apparaît dans beaucoup de formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères.
Forme géométrique Formule
Circonférence d'un cercle de rayon r
Aire d'un disque de rayon r
Aire d'une ellipse de demi-axes a et b
Volume d'une sphère de rayon r
Aire surfacique d'une sphère de rayon r
Volume d'un cylindre de hauteur h et de rayon r
Aire surfacique d'un cylindre de hauteur h et de rayon r
Volume d'un cône de hauteur h et de rayon r
Aire surfacique d'un cône de hauteur h et de rayon r
La surface d'un cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même (bases du cylindre exclues).
se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions). La mesure d'angle 180° (en degrés) est égale à radians.
[
et plus généralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de pour un entier positif n
(fonction gamma d'Euler)
(formule de factorielle de Stirling)
(identité d'Euler, aussi appelée « la formule la plus remarquable au monde »)
π peut s'écrire sous forme de fractions continues généralisées remarquables :
(William Brouncker)
où est la fonction indicatrice d'Euler (cf. aussi les suites de Farey).
(aire d'un quart de cercle unité)
Théorie des nombres
La fréquence d'apparition de paires d'entiers naturels premiers entre parmi les paires d'entiers entre 0 et N tend vers 6/π² quand N tend vers l'infini. Le nombre moyen de façons d'écrire deux entiers positifs quelconques compris entre 0 et N comme la somme de deux carrés parfaits (l'ordre compte) tend vers π/4 quand N tend vers l'infini.
Systèmes dynamiques / Théorie ergodique
presque partout sur [0, 1] où les xi sont des itérés du plan logistique pour r = 4.
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Physique
(inégalité de Heisenberg)
(équation du champ d'Einstein de la relativité générale)
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Calcul de la valeur de pi
Du fait de sa nature transcendante il n'y a pas de développement décimal simple de π. Il en résulte que l'on ne peut en calculer qu'une valeur approchée. Par exemple, une valeur approchée avec seulement quelques décimales sur toutes celles découvertes à ce jour serait :
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679...
Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur, soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs.