Question:
Raisonnons par l'absurde et supposons p/q une fraction irréductible telle que √2=p/q avec p et q entiers?
Alexandra
2010-01-03 10:24:15 UTC
3) p=2p' avec p' entier. Démonter que q² = 2p'². En déduire que p est pair

4) On sait que p est pair et que p/q est irréductible. En déduire que q est impair.

5 ) Où est la contradiction ?
Cinq réponses:
Claire Cocker
2010-01-03 10:35:41 UTC
3) On remplace p par 2p': √2=2p'/q <=> √2q=2p' <=> ( √2q)²=(2p')² <=> 2q²=4p'² <=> q²=2p'²

Comme p=2p' et que 2p' est divisible par 2, alors p est pair.



4) Si q était pair alors la fraction ne serait pas irréductible puisqu'on pourrait encore la diviser par 2. Donc, comme p est pair, alors q est impair.



5) On a donc p pair et q impair. Or, dans la question 3) q²=2p'², soit: q²=p². C'est impossible puisque q et p sont de parités différentes.
Franck Z
2010-01-04 08:01:38 UTC
Si dans ta question 3, tu supposes que p=2p' avec p' entier, tu ne peux pas démontrer que p est pair sur la base de q² = 2p'², car tu ne fais que retrouver ton hypothèse.



Par contre, si tu supposes que p² = 2.q² alors tu peux conclure que 2 divise p² et donc que 2 divise p (sinon 2 ne divisant pas p, il ne peut pas diviser p²). Là, alors tu peux conclure que p = 2.p' avec p' entier.



Pour la question 4, c'est un raisonnement par l'absurde : si q n'est pas impair, alors (étant non nul), il est divisible par 2. Donc p et q ont un facteur en commun, à savoir 2 et la fraction p/q n'est plus irréductible. Donc q est impair.



Question 5, on est en effet face à une contradiction : tu as conclu que q² = 2.p², donc que 2 divise q², et donc que 2 divise q. Mais d'un autre côté, tu conclus que q est impair.



Conclusion finale : supposer que sqrt(2) est rationnel conduit à une contradiction. Donc sqrt(2) est irrationnel (c'est à nouveau un raisonnement par l'absurde).
2010-01-03 18:34:48 UTC
3)

Je ne comprends pas bien le chemin emprunté pour montrer l'irrationnalité de V2.

Si p=2p',avec p' entier,alors p est pair.



V2=p/q

q=V2/p

q²=2/p²

=2/(2p')²

=2/4p'²

=1/2p'².



Y a erreur dans ton énoncé.



4)

Si p et q sont pairs,leur pgcd est 2,donc ils ne sont pas premiers entre eux,et donc p/q n'est pas irréductible.

Donc q est impair.



5)

p²=2q²

Donc q divise p,ce qui est impossible car p et q sont premiers entre eux et que q est différent de 1 car sinon V2 serait entier,ce qui est notoirement faux.
PascalB
2010-01-03 18:30:44 UTC
Ca marche pas dès le début ton truc. Si p et q sont entiers p/q est un nombre rationnel ne pouvant égaler V2 qui est lui est irrationnel.
deilorsux
2010-01-03 20:42:30 UTC
la contradiction c est que j y comprends rien


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