Il n'y a pas de secret à proprement parler. Si certaines branches des mathématiques nécessitent seulement de l'application et du travail pour réussir, pour d'autres domaines, notamment la topologie, l'arithmétique, la géométrie ou certaines branches de l'algèbre, apprendre son cours et des méthodes ne suffisent plus. Il faut alors faire preuve d'aptitudes intellectuelles supérieures à la moyenne, notamment dans les domaines suivants:
- capacité d'abstraction (manipulation de concepts complexes n'étant pas nécessairement reliés à une réalité physique);
- capacité à décomposer un problème donné en une somme de problèmes élémentaires plus simples à résoudre;
- raisonnement par analogie (dans une situation donnée, reconnaissance d'un problème similaire déjà résolu par le passé);
- intuition et imagination (capacité à faire appel à des solutions qui, sous une apparente complexité au départ, finissent par écraser le problème en un temps record).
A l'instar des enfants prodiges aux échecs, je pense plus généralement que l'excellence dans les mathématiques devient possible lorsqu'on est capable de raisonner en s'affranchissant de l'utilisation du langage. Lorsque j'ai à résoudre un problème de géométrie je me contente de regarder la figure et la solution m'apparaît alors comme un film. Il me suffit alors de la retranscrire en langage mathématique.
Petite anecdote à ce sujet: un jour quelqu'un a essayé de me poser une colle: il me demandait comment former quatre triangles équilatéraux avec six alumettes. Je me souviens qu'au moment où il m'a posé la question, l'image d'un tétraèdre est spontanément venue dans mon cerveau, et je n'ai plus eu qu'à "compter" les arètes pour lui répondre. Cela m'a pris en tout une seconde pour résoudre la "colle".
Si vous voulez développer la pensée en images, je vous conseille la pratique des échecs ou du sudoku.