1) le produit de 2 nombres pair est pair

en effet : 2n × 2n = 4np = 2(2np) ; où n et p ∈ {N} (sont deux entiers naturel )



2) Le produit de 2 nombres impair est impair

en effet : (2n+1) ×( 2p+1) = 4np + 2n + 2p +1 = 2(np + n + p ) +1



3) Le produit de 2 nombresl'un pair et l'autre impair est pair

en effet : 2n ×( 2p+1) = 4np + 2n = 2(2np +n )



4) (2n+1) +(2n+3) = 4n +4 =4(n+1) ;c'est bien un multiple de 4



5) Non

en effet : 2n + (2n+2) = 4n+2

tout ce qu'il faut savoir , c'est qu'un nombre pair est un multiple de deux ( 2n)

un impair est un multiple de deux , plus un (2n+1)

quand tu sais ça , tu sais tout !



1)les deux pairs sont 2n et 2m

leur produit :2n*2m=4nm=2*2nm , de la forme 2N , multiple de 2 , donc pair



2)les 2 impairs sont 2n+1 et 2m+1

produit : (2n+1)(2m+1)=4nm+2n+2m+1=2(2nm+n+m)+1

de la forme 2N +1 , donc impair



3)un pair 2n et un impair 2m+1

produit :2n(2m+1)=2(nm+n) de la forme 2N , donc pair



4)2 impairs consécutifs : 2n+1 et 2n+3

somme :2n+1+2n+3=4n+4=4(n+1)

c'est bien un multiple de 4



5) deux pairs consécutifs : 2n et 2n+2

somme : 2n+2n+2=4n+2

on ne peut pas factoriser 4 , ce n'est pas un multiple de 4

je pense que tu fais expres de ne pas vouloir reflechir.



un nombre pair s'ecrit comme etant un multiple de 2. tu prends donc 2 chiffre p et q. si p est pair, tu dit qu'il existe m tel que p=2m, s'il est impair, tu dit qu'il existe un autre m tel que p=2m+1 ou p=2m-1, c'est equivalent.



en prenant ca, voyons tes devoirs que tu nous demande de faire a ta place:

1. il existe m et n tel que p=2m et q=2n. pq=2m.2n =2(2mn) ce qui est bien 2 fois un nombre entier (2mn est entier comme produit de 3 entiers). et hop, t'as la reponse.

2. il existe m et n telm que p=2n+1 et q=2m+1. pq=2(n+m+2mn) + 1 ce qui est bien impair. fait les calculs, t'aura besoin de les faire lors du prochain DS.

3. on va dire que p est pair, et que q, on s'en fout:

p=2n

pq=2(nq) or nq est entier, donc le produit d'un pair avec n'importe quel entier est pair.

4. 2 impairs consecutif p et q s'ecrivent de la forme:

p=2n-1, q=p+2.

p+q=4n

5. p=2n-2, q=2n

p+q=2(n-1) et la conclusion



tu remarquera qu'il n'y a pas unicité de la demonstration, et que c'est le genre de calcul elementaire qu'il faut savoir faire et surtout comprendre si tu ne veux pas te rammasser au prochain devoir.

Le produit d'un nombre pair et d'un autre nombre est toujours pair. Un nombre pair est divisible par 2 si on le multiplie par quelque nombre que ce soit, le produit est lui même divisible par 2.

Le produit de deux nombres impairs est impair car sinon ce produit serait divisible par 2 et donc un des deux nombres serait lui même divisible par 2.

Pour les autres questions les réponses précédentes y répondent parfaitement.

On note P c'est paire / iP c'est impaire!, OK?

Alors que:

P*P...*P = P

iP*iP*...*iP = iP

P*iP = P

P*iP*iP...*iP = toujours P

iP*P*P...*P = toujours P

P^P = P

iP^iP = iP

P^iP = P

1) Le produit de 2 nombres est pair



Un nombre pair est divisible par 2, il peut donc s'écrire : (2 * a)



Un autre nombre pair est aussi divisible par 2, il peut donc s'écrire : (2 * b)



Le produit de ces 2 nombres vous donne :



p = (2 * a) * (2 * b)



p = 2a * 2b



p = 4ab



p = 2 * (2ab)



...et vous remarquez que p est aussi divisible par 2, et ça vous donne :



p/2 = [2 * (2ab)] / 2



p/2 = 2ab ← et ça c'est un entier





2) Le produit de 2 nombres impair est impair



Un nombre impair n'est pas divisible par 2, et peut s'écrire : (2 * a) + 1



Un autre nombre impair n'est pas non plus divisible par 2, et peut s'écrire : (2 * b) + 1



Le produit de ces 2 nombres vous donne :



p = [(2 * a) + 1] * [(2 * b) + 1]



p = (2a + 1)(2b + 1)



p = 4ab + 2a + 2b + 1 ← essayons de divisez par 2 pour voir si c'est pair



p/2 = (4ab + 2a + 2b + 1)/2



p/2 = (4ab/2) + (2a/2) + (2b/2) + (1/2)



p/2 = 2ab + a + b + (1/2)



...et vous remarquez qu'il vous reste à la fin (1/2), et donc p/2 n'est pas un nombre entier



p n'est donc pas divisible par 2, et à ce titre il est donc impair.





3) Le produit de d'un nombre pair et d'un nombre impair est pair



Un nombre pair est divisible par 2, il peut donc s'écrire : (2 * a)



Un autre nombre impair n'est pas divisible par 2, et peut s'écrire : (2 * b) + 1



Le produit de ces 2 nombres vous donne :



p = (2 * a) * [(2 * b) + 1]



p = 2a * (2b + 1)



p = 4ab + 2a ← essayons de divisez par 2 pour voir si c'est pair



p/2 = (4ab + 2a)/2



p/2 = (4ab/2) + (2a/2)



p/2 = 2ab + a ← c'est un nombre entier



p est donc divisible par 2, et à ce titre il est pair.





4) Montrer que la somme de deux entiers impairs consécutifs est multiple de 4.



premier nombre impair : (2n + 1)



deuxième nombre impair consécutif : (2n + 1) + 2





La somme vous donne :



s = (2n + 1) + [(2n + 1) + 2]



s = 2n + 1 + 2n + 1 + 2



s = 4n + 4 ← vous voyez bien que c'est divisible par 4, car cela vous donne :



s/4 = (4n + 4)4



s/4 = (4n/4) + (4/4)



s/4 = n + 1 ← c'est un nombre entier





5) A-t-on la même propriété pour la somme de deux entiers pair consécutifs?



premier nombre pair : 2n



deuxième nombre pair consécutif : 2n + 2





La somme vous donne :



s = 2n + (2n + 2)



s = 2n + 2n + 2



s = 4n + 2 ← essayons de diviser par 4



s/4 = (4n + 2)/4



s/4 = (4n/4) + (2/4)



s/4 = n + (1/2) ...et vous remarquez qu'il vous reste à la fin (1/2)





Conclusion : vous n'avez pas la même propriété pour 2 entiers pairs consécutifs.

Tu n'as qu'à considérer que c'est un axiome et puis basta !