Bonsoir,



) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

f est une fonction non-nulle de IR² dans IR qui pour tous les réels x et y vérifient:

f(x + y) = f(x) × f(y)



Si y=0, alors on a:

f(x) = f(x + 0) = f(x) × f(0)



Comme f est non-nulle, f(x) ne peut valoir 0 et il est donc possible de diviser par f(x), donc:

f(x) × f(0) = f(x)

f(0) = 1



Comme f est définie comme non-nulle dans l'énoncé,

Pour tout x de IR, f(x) ≠ 0



) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Posons y=-x, alors:

f(x + y) = f(x) × f(y)

f[x + (-x)] = f(x) × f(-x)

f(x - x) = f(x) × f(-x)

f(0) = f(x) × f(-x)

1 = f(x) × f(-x)



Comme la fonction ne s'annule jamais, il est possible de diviser par f(x):

1 = f(x) × f(-x)

1/f(x) = f(-x)



) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

x = x/2 + x/2

f(x) = f(x/2 + x/2) = f(x/2) × f(x/2) = [f(x/2)]²



Un carré étant toujours positif ou nul dans IR, f(x) qui est un carré est donc forcément positif ou nul.

La fonction f ne pouvant être nulle, on en déduit logiquement qu'elle est strictement positive.



) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Pour un réel x fixé, on définit la fonction g qui à tout réel t associe g(t) = f(x + t) - f(x).f(t)

g(t) = f(x + t) - f(x).f(t)

g'(t) = f'(x + t) - f(x).f'(t)



Or comme f(x+t)=f(x).f(t), on a donc g(x)=0 et sa dérivée g' est toute aussi nulle!

0 = f'(x + t) - f(x).f'(t)

f'(x + t) = f(x).f'(t)



Et dans le cas où t=0, on obtient:

f'(x) = f(x).f'(0)

Comme f est dérivable partout sur IR, f'(0) existe et donc,

il existe k=f'(0) tel que, pour tout x de IR

f'(x) = k.f(x)



) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Évidemment, la fonction que l'on étudie est une fonction exponentielle, c'est-à-dire une fonction du type:

h(x) = A^x

avec A un réel strictement positif quelconque.



Si A=10 par exemple:

h(0) = 10º = 1

h(-1) = 10-¹ = 1/10

h'(x) = ln(10).h(x)



Rapidement,

Dragon.Jade :-)

Soit une fonction f, non nulle, définie et dérivable sur R pour tout x et y appartenant à R on a

f(x+y) = f(x).f(y)

---> Prouver successivement que f(0) = 1 ; f(x) ≠ 0 pour tout x appartenant à R



on prend le cas particulier x=y=0

on obtient f(0)=f(0)²



donc f(0) = 0 ou f(0) =1



Si f(0) est nulle, alors f(x) = f(x+0)=f(x).f(0) => f est la fonction nulle, ce qui n'est pas le cas selon l'énoncé



Donc f(0)=1.



Par le même principe, on suppose qu'il existe X0 réel tel que f(X0) = 0

Alors quelque soit x réel, f(x+X0) = f(x).f(X0)=0... donc f est la fonction null => faux par hypothèse de l'énoncé.

Donc il n'existe pas de X0 tel que f(X0)=0







---> Puis f(-x) = 1/f(x) pour tout x ; f(x) > 0 (indication calculer f (x/2 + x/2)



f(x/2+x/2) = f(x) = f(x/2)² > 0 => qqsoit x, f(x) est > 0 ( un carré tjs >=0, et là ça peut pas être nul).

f(0) = f(x-x) = 1 = f(x).f(-x).



On a prouvé juste avant que f n'a aucune racine, donc on peut diviser par f(x)

=> f(-x)=1/f(x).





---> Enfin Prouver qu'il existe un réel k tel que pour tout x on ait f '(x) = k f(x)

J'arrive pas à faire qqch de propre... mais à mon avis, tu écris g, tu dérives et ça doit tomber.. faut juste faire attention à ce que tu écris.





(indication soit x appartient à R, utiliser la fonction g définie sur R par g(t) = f (t+x) - f (t) f(x)



PS :

On fait ça en terminale maintenant ?!

Je crois qu'il suffit de supposer que f est bornée au voisinage de 0 (hypothèse la plus faible possible), et ça marche, mais c'est pas trivial.

*

f(0 + 1) = f(1)

et

f(0 + 1) = f(0) * f(1)



----> f(1) = f(0) * f(1)



----> f(0) = 1



**



f(x - x) = f(x) * f(-x) = 1 ------- du fait que f(x - x) = f(0) = 1



Produit de deux termes non nul ----> aucun des termes n'est nul !

----> f(x) # 0 et f(-x) # 0



***



f(x - x) = f(x) * f(-x) = 1



---> f(-x) = 1/f(x)



...

f n'est pas la fonction nulle a priori car cela n'aurait aucun interêt.

On a f(x+y)=f(x)*f(y) (equation 1)

Si il existe y tel que f(y)=0, alors f(x)=0 quel que soit x appartenant à R. Or f n'est pas la fonction nulle. Donc f(x) ≠ 0 pour tout x appartenant à R.

Toujours d'après l'équation 1, on a f(0)=f(0)*f(0). Or f(0) ≠ 0 donc f(0)=1 (en simplifiant l'équation par f(0))



On a f(x-x)=f(x)*f(-x)

soit f(0)=f(x)*f(-x)

comme f(0)=1 et f(x) ≠ 0 pour tout x appartenant à R, on a donc f(x)=1/f(-x)