Eh bien, il y a deux façons de le voir.



1) A l'ancienne : dx est une quantité infiniment petite. Ainsi, l'intégrale de f(x)dx est la somme des aires des rectangles de base dx et de hauteur f(x), donc l'aire sous la courbe (comptée négativement en dessous de l'abcisse). Ainsi, df/dx représente le rapport de deux quantités infiniment petites, c'est-à-dire une limite. C'est clair mais peu rigoureux.



2) Version moderne, rigoureuse : dx est une forme différentielle. Si tu ne sais pas ce que c'est, ce n'est pas grave. Ici, c'est une fonction de R^n dans R, qui associe à un vecteur sa coordonnée en x. Précisément, dans le cas qui nous occupe, on a n=1, et dx est donc la fonction identité !! C'est rigoureux mais l'intuition semble perdue.



Il n'en est rien. Plaçons-nous dans R^3, où la géométrie est moins confuse que sur R. Si une fonction f : U->V transporte le point a en f(a), la différentielle df transporte un vecteur ayant son origine en a en un vecteur ayant son origine en f(a), de coordonnées dépendant de celles du vecteur de départ et des dérivées partielles de f. Précisément, les coordonnées du vecteur d'arrivée sont données par les formes différentielles df/dx.dx, df/dy.dy, df/dz.dz. Ici, dx, dy, dz ne sont pas des quantités "infiniment petites", mais des quantitées finies dépendant du vecteur de départ, dont les coefficients dépendent du comportement local de f en a.



On peut intégrer les formes différentielles : par définition, l'intégrale de f(x)dx sur I est l'intégrale de f(x) sur I contre la mesure de Lebesgue. Bref, l'intégrale de f(x)dx, c'est par définition l'intégrale de f(x) ! Jusqu'ici, rien de bien intéressant. Mais il existe pour la forme différentielle dx une formule de changement de variable : si g:U->V est un C1-difféomorphisme, on a d(g(x))=g '(x)dx. Cette formule est compatible avec le changement de variable sous le signe intégrale.



Tout ceci ne devient intéressant que lorsque l'on considère l'algèbre extérieure des formes différentielles; alors la pertinence de la formalisation précédente se révèle. Sans cela, on ne perd rien à considérer dx comme n'étant rien de plus qu'une notation commode.

Bonsoir,



Le "d" de f(x).dx ou de df/dx est l'abréviation de "différentiel".

En effet, la définition du nombre dérivé d'une fonction f en en point x0 est:

f'(x) = Lim(x→x0) [f(x0) - f(x)] / (x0 - x)

On voit donc qu'un nombre dérivé n'est que le rapport de deux différences: celle de la fonction f en x0 sur l'écart entre x0 et x.



L'écriture df/dx correspond à l'écriture originelle de la dérivée issue de la physique, plus proche du réel. C'est plus tard que l'étude mathématique formelle sur les fonctions lui préfèrera le f':

f'(x) = df/dx



Cette origine se retrouve encore aujourd'hui lors de l'expression des intégrales:

F(x) = f(0) + ∫(x → 0) f(x).dx



Simplement,

Dragon.Jade :-)

C'est une notation. Une manière de dire "une petite variation de x". En fait, c'est une valeur qui ne représente quelque chose de calculable que lorsqu'elle est infiniment petite. Le concept est peut-être un peu surprenant, mais très efficace !

En d'autres termes, la dérivée d'une fonction f(x) peut s'écrire (en maths généralement) f'(x) ou bien, en physique très souvent, df/dx (x) . Soit encore le rapport entre une petite variation de f et une petite variation de x. Ce qui donne bien la pente de la courbe.