1) u(2,-1,2) et v(1,2,2) sont respectivement normaux à P et Q.

Leur produit scalaire u.v vaut 2-2+4=4.

u et v ne sont pas colinéaires,donc P et Q ne sont pas parallèles.

u.v<>0,donc P et Q ne sont pas perpendiculaires.

En fait,u.v=||u||.||v||.cos(u,v)

Donc 4=3*3*cos(u,v)

Donc cos(u,v)<>1 et -1.



2) P' et Q' appartiennent au même faisceau de plans que P et Q

Donc leurs équations s'écrivent:

aP+bQ=0 et cP+dQ=0

Leurs vecteurs normaux u' et v' étant orthogonaux.

De plus si on impose ||u'||=||v'||=3,alors u'.u=u'.v

Donc a(2x-y+2z+1)+b(x+2y+2z-2)=0

Donc (2a+b)x+(2b-a)y+(2a+2b)z+(a-2b)=0



D'où u'=(2a+b,2b-a,2a+2b)

||u'||²=(2a+b)²+(2b-a)²+(2a+2b)²=9

Donc 4a²+4ab+b²+a²-4ab+4b²+4a²+8ab+4b²=9

Donc 9a²+8ab+5a²+5b²=9



u'.u=2(2a+b)-(2b-a)+2(2a+2b)

=9a+4b



u'.v=(2a+b)+2(2b-a)+2(2a+2b)

=4a+9b



9a+4b=4a+9b

Donc a=b



On a donc:27a²=9

Donc a=1/V3 ou -1/V3



Donc P':

(1/V3)(2x-y+2z+1)+(1/V3)(x+2y+2z-2)=0

Donc 2x-y+2z+1+x+2y+2z-2=0

Donc 3x+y+4z-1=0.



Pour Q',v'.u=-v'.v

Donc 2(2a+b)-(2b-a)+2(2a+2b)=-((2a+b)+2(2b-a)+2(2a+2b))

Donc 9a+4b=-(4a+9b)

=-4a-9b

Donc 13a=-13b

Donc a=-b

9a²+8ab+5a²+5b²=9 devient:

11b²=9



Donc 2x-y+2z+1-x-2y-2z+2=0

Donc x-3y+3=0.



On a bien P' et Q' perpendiculaires puisque leurs vecteurs normaux respectifs sont (3,1,4) et (1,-3,0) et leur produit scalaire est nul.



Autre méthode:

Le plus simple est la méthode des distances d'un point à un plan,mais je l'ai oubliée!!!

En tout cas,je pense que cette méthode ne t'aurait donné que P'.



Distance de M(x,y,z) à P d'équation ax+by+cz+d=0:

Soit H(x',y',z') le projeté orthogonal de M sur P

La distance cherchée est MH.



H vérifie ax' +by' + cz' + d = 0

De plus HM est colinéaire à (a,b,c)

Donc x'-x=ka

y'-y=kb

z'-z=kc



Donc a(x+ka)+b(y+kb)+c(z+kc)+d=0

Donc (ax+by+cz)+k(a²+b²+c²)+d=0

On obtient ainsi k en fonction de (x,y,z)



k=-(ax+by+cz+d)/(a²+b²+c²)

HM=|k|V(a²+b²+c²)

=|ax+by+cz+d|/V(a²+b²+c²).



Donc on cherche l'ensemble des points M(x,y,z) équidistants de P et Q.



d(M,P)=|2x-y+2z+1|/3

d(M,Q)=|x+2y+2z-2|/3

Ces deux distances doivent etre égales.

Donc |2x-y+2z+1|=|x+2y+2z-2|

Donc 2x-y+2z+1=x+2y+2z-2 ou 2x-y+2z+1=-x-2y-2z+2

Donc x-3y+3=0 ou 3x+y+4z-1=0.

Il est vrai que c'était plus court!

REPONSE INITIALE

J'attends de voir ce que tu as déjà fait

le vecteur normal du premier plan est (2 , -1 , 2)

quand tu aura fini le 1) je te corrigerais



2) tu dois connaitre la formule donnant la distance d'un point M(x,y,z) à un plan

l'équation des plans bissecteurs s'obtient en écrivant qu'il y a égalité entre les distances aux 2 plans







AJOUT

DESOLEE de t'avoir vexé mais ici il y a beaucoup d'élèves squi veulent nous faire faire leur devoir à leur place sans faire le moindre effort et ce n'est pas leur rendre service de le faire. merci pour l'aide mais prof retraitée je n'en ai pas besoin



JE PREFERE LA VRAIE GEOMETRIE

là c'est de la géométrie analytique donc presque de l'algèbre !

Je note une erreur dans une réponse , le produit scalaire doit être différent du produit de leur norme car les vecteurs ne sont pas unitaires



LA DISTANCE je ne l'ai pas utilisée depuis des décennies , alors

pour le plan ax+by+cz=d=0 et M(x,y,z), H pied de la perpendiculaire abaissée sur le plan, vecteur normal (a, b, c)

x-xh = ka

y-yh= kb

z-zh= kc

d² = k²(a²+b²+c²) est la distance de M(x, y ,z) au plan (au carré) les coordonnées de H vérifient l'équation du plan donc

a(x-ka)+ b(y-kb)+ c(z-kc) +d=0

d'où k= (ax+by+cz+d)/(a²+b²+c²)

d²= (ax+by+cz+d)²/(a²+b²+c²)

il suffit d'appliquer cette formule aux 2 plans comme il y a une valeur absolue pour les distances il y a 2 réponses

ax+by+cz+d)/V(a²+b²+c²) = +- (a'x+b'y+c'z+d')/V(a'²+b'²+c'²)

J'arrive après la battaille. Une solution alternative consiste à dire que

si u et v sont normaux à P et Q et IIuII=IIvII alors

(u-v) et (u+v) sont des vecteurs normaux à chaque plan bissecteur.

(3,1,4) et (1,-3,0) sont donc des solutions.

Reste ensuite à exhiber un point M de l'intersection de P et Q qui appratiendra aussi à P', Q'

M=(0,1,0). D'où 3x+y+4z-1=0 et x-3y +3=0.



Je crois que c'est le plus court.

la première question, c'est plutôt facile :



un vecteur normal à (P) a pour coordonnées : n1(2,-1,2)

un vecteur normal à (Q) : n2(1,2,2)



tu calcules le produit scalaire n1.n2 qui doit etre différent de 1 ou de -1



pour la deux c'est tard!!

je me suis venu ,j'ai vu ,j'ai résolu



je suis reparti

tu n'avais pas posé de question

désolé

il n'est pas un peu trop tard pour te mettre enfin à essayer de faire faire tes devoirs par les autres?