Bonsoir,



A1) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

f est une fonction non-nulle de IR² dans IR qui pour tous les réels x et y vérifient:

f(x + y) = f(x) × f(y)



Si y=0, alors on a:

f(x) = f(x + 0) = f(x) × f(0)



Comme f est non-nulle, f(x) ne peut valoir 0 et il est donc possible de diviser par f(x), donc:

f(x) × f(0) = f(x)

f(0) = 1



A2) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Supposons maintenant que la fonction soit constante, donc que

pour tout x de IR, f(x) = Cste (où Cste est une constante réelle)



Or on sait que f(0)=1.

Donc si la fonction f est constante, f(0) = 1 = Cste.



Si f est constante, alors cette constante est égale à 1.



A3) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Posons y=-x, alors:

f(x + y) = f(x) × f(y)

f[x + (-x)] = f(x) × f(-x)

f(x - x) = f(x) × f(-x)

f(0) = f(x) × f(-x)

1 = f(x) × f(-x)



Supposons maintenant qu'il existe une valeur réelle z telle que f(z)=0.

Alors, on aurait l'égalité:

1 = f(z) × f(-z) = 0 × f(-x)



Comme le produit de 0 et d'une autre valeur ne peut valoir que 0, il n'est pas possible de trouver un réel z tel que f(z)=0. La fonction f ne s'annule donc jamais!



Comme la fonction ne s'annule jamais, il est possible de diviser par f(x):

1 = f(x) × f(-x)

1/f(x) = f(-x)



A4) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

f(x - y) = f[x + (-y)]

f(x - y) = f(x) × f(-y)



On a prouvé plus haut que f(-y)=1/f(y), donc:

f(x - y) = f(x) × f(-y)

f(x - y) = f(x) × 1/f(y)

f(x - y) = f(x) / f(y)



A5) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

x = x/2 + x/2

f(x) = f(x/2 + x/2) = f(x/2) × f(x/2) = [f(x/2)]²



Un carré étant toujours positif ou nul dans IR, f(x) qui est un carré est donc forcément positif ou nul.

La fonction f ne pouvant être nulle (prouvé en A3), on en déduit logiquement qu'elle est strictement positive.



A6) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

f(2) = f(1 + 1) = f(1) × f(1) = [f(1)]²

f(3) = f(2 + 1) = f(2) × f(1) = [f(1)]² × f(1) = [f(1)]³



) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Évidemment, la fonction que l'on étudie est une fonction exponentielle, c'est-à-dire une fonction du type:

g(x) = A^x

avec A un réel strictement positif quelconque.



Si A=10 par exemple:

g(0) = 10º = 1

g(-1) = 10-¹ = 1/10

g(1) = g(3 -2) = g(3) / g(2) = 10³ / 10² = 10

g(2) = g(1 + 1) = 10¹ × 10¹ = 10²

g(3) = g(2 + 1) = 10² × 10¹ = 10³



Rapidement,

Dragon.Jade :-)

A) f(x+y)=f(x)f(y)

1) y=0

f(x)=f(x)f(0) pour tout x

Donc f(0)=1.



2) Si f(x)=a,pour tout x,alors f(x)=f(0)=1

Donc a=1.



3) f(x+ -x)=f(x)f(-x)

Donc f(0)=f(x)f(-x)

Donc 1=f(x)f(-x)

Donc f(x) est non nul (sinon f(x)f(-x)=0) et f(-x)=1/f(x).



4) f(x-y)=f(x+ -y)=f(x)f(-y)

=f(x)/f(y).



5) f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)f(x/2)=f(x/2)²>=0

Donc f(x)>0 car f(x) est non nul.



6) f(2)=f(1+1)=f(1)²

f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)

=f(1)²f(1)=f(1)^3.



Méthode rapide:

On est censé savoir que les seules fonctions continues vérifiant g(x+y)=g(x)+g(y) sont les fonctions g(x)=g(1)x (fonctions linéaires).



Si f(x+y)=f(x)f(y),alors ln(f(x+y))=ln(f(x))+ln(f(y))

Donc si g=ln o f,alors g(x+y)=g(x)+g(y)

g est continue,donc g(x)=g(1)x.

Donc f(x)=exp(g(x))=exp(g(1)x)=(exp(g(1))^x

=f(1)^x.

C'est tres simple.